polinomios factorizar

Factoriza los siguientes polinomios:

– $P(x) = x^4+2x^3+4x^2+6x+3$
– $Q(x) = 9x^4+18x^3-31x^2-8x+12$

SOLUCIÓN

Factorización de:

$x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+6x+3$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (3):

$\pm 1,\ \pm 3$

$\color{red}{x=-3}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=-1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4+2x^3+4x^2+6x+3}$

$\color{blue}{x=-1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+x^2+3x+3}$

$\color{red}{x=-1},\ \color{red}{x=1},\ \color{red}{x=3}\text{: ninguno es raíz de }x^{2}+3$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$\Delta = -12 < 0 \implies \text{sin raíces reales}$

El factor

$x^{2}+3$

es irreducible en $\mathbb{R}$ .

Resultado final de la factorización:

$x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+6x+3 = \boxed{\left(x+1\right) \cdot \left(x+1\right) \cdot \left(x^{2}+3\right)}$

Factorización de:

$9x^{4}+18x^{3}-31x^{2}-8x+12$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (12):

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12$

$\color{red}{x=-12},\ \color{red}{x=-6},\ \color{red}{x=-4}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=-3}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-3, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{9x^4+18x^3-31x^2-8x+12}$

$\color{red}{x=-2},\ \color{red}{x=-1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{9x^3-9x^2-4x+4}$

$\color{red}{x=1},\ \color{red}{x=2},\ \color{red}{x=4}\text{: ninguno es raíz de }9x^{2}-4$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Es una diferencia de cuadrados:

$9x^{2}-4 = \left(3x+2\right)\left(3x-2\right)$

Resultado final de la factorización:

$9x^{4}+18x^{3}-31x^{2}-8x+12 = \boxed{\left(x+3\right) \cdot \left(x-1\right) \cdot \left(3x+2\right) \cdot \left(3x-2\right)}$