polinomios factorizar

Ejercicios_Resueltos factorizar_polinomios polinomios

Factoriza los siguientes polinomios:
– $P(x) = 3x^2 + 2x - 8$
– $Q(x) =x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4x + 3$

SOLUCIÓN

Factorización de:

$3x^{2}+2x-8$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Factor de grado 2:

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-2+10}{6}=\frac{4}{3}\\ & \nearrow &\\x=\frac{-(2)\pm\sqrt{(2)^{2}-4\cdot3\cdot-8}}{2\cdot3}=\frac{-2\pm\sqrt{100}}{6} & &\\ & \searrow &\\& & x_2 = \frac{-2-10}{6}=-2\end{array}$

Por tanto:

$3x^{2}+2x-8 = 3\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+2\right)$

Resultado final de la factorización:

$3x^{2}+2x-8 = \boxed{3 \cdot \left(x-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(x+2\right)}$

Factorización de:

$x^{4}-4x^{3}+4x^{2}-4x+3$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (3):

$\pm 1,\ \pm 3$

$\color{red}{x=-3},\ \color{red}{x=-1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4-4x^3+4x^2-4x+3}$

$\color{red}{x=1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=3}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=3, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-3x^2+x-3}$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$\Delta = -4 < 0 \implies \text{sin raíces reales}$

El factor

$x^{2}+1$

es irreducible en $\mathbb{R}$ .

Resultado final de la factorización:

$x^{4}-4x^{3}+4x^{2}-4x+3 = \boxed{\left(x-1\right) \cdot \left(x-3\right) \cdot \left(x^{2}+1\right)}$

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