polinomios factorizar

Ejercicios_Resueltos factorizar_polinomios polinomios

Factoriza los siguientes polinomios:
– $P(x) = 2x^2 - 9x -5$
– $Q(x) = x^3 + 3x^2 + 4x +12$

SOLUCIÓN

Factorización de:

$2x^{2}-9x-5$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Factor de grado 2:

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{9+11}{4}=5\\ & \nearrow &\\x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^{2}-4\cdot2\cdot-5}}{2\cdot2}=\frac{9\pm\sqrt{121}}{4} & &\\ & \searrow &\\& & x_2 = \frac{9-11}{4}=-\frac{1}{2}\end{array}$

Por tanto:

$2x^{2}-9x-5 = 2\left(x-5\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$

Resultado final de la factorización:

$2x^{2}-9x-5 = \boxed{2 \cdot \left(x-5\right) \cdot \left(x+\frac{1}{2}\right)}$

Factorización de:

$x^{3}+3x^{2}+4x+12$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (12):

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12$

$\color{red}{x=-12},\ \color{red}{x=-6},\ \color{red}{x=-4}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=-3}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-3, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+3x^2+4x+12}$

$\color{red}{x=-2},\ \color{red}{x=-1},\ \color{red}{x=1},\ \color{red}{x=2},\ \color{red}{x=4}\text{: ninguno es raíz de }x^{2}+4$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$\Delta = -16 < 0 \implies \text{sin raíces reales}$

El factor

$x^{2}+4$

es irreducible en $\mathbb{R}$ .

Resultado final de la factorización:

$x^{3}+3x^{2}+4x+12 = \boxed{\left(x+3\right) \cdot \left(x^{2}+4\right)}$

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