ecuaciones exponenciales

Resuelve la ecuación $2 = 9 \cdot 5^x + 5^{2x+1}$

SOLUCIÓN

Ecuación exponencial

$2 = 9 \cdot 5^x + 5^{2x+1}$

Absorbemos los exponentes constantes:

$-9\cdot5^{x}-5\cdot5^{2x}+2=0$

Cambio de variable (ecuación cuadrática en $5^x$ ):

Cambio de variable: sea $t=5^x$ (con $t>0$ ).

$-5t^2-9t+2=0$

Discriminante: $\Delta=-9^2-4\cdot-5\cdot(2)=121$

$t=\frac{-(-9)\pm11}{2\cdot-5}$

$t_1=-2$ → sin solución ( $t\leq 0$ , pero $5^x>0$ ).

$t_2=\frac{1}{5}$ →

$5^{x}=\frac{1}{5}=5^{-1}$

Igualamos los exponentes:

$x=-1$

$\boxed{x=-1}$