UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 9

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El valor de \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^2-2} - \sqrt{x^2-2x} \right) es:

SOLUCIÓN

Si sustituimos x por \infty obtenemos una indeterminación del tipo \infty - \infty, que cuando hay raíces se resuelve multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^2-2} - \sqrt{x^2-2x} \right)=

=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ \left( \sqrt{x^2-2} - \sqrt{x^2-2x} \right) \cdot \left( \sqrt{x^2-2} + \sqrt{x^2-2x} \right)}{\left( \sqrt{x^2-2} + \sqrt{x^2-2x} \right)}=

En el numerador aplicamos "suma por diferencia = diferencia de cuadrados" y operamos

=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ 2x-2}{\sqrt{x^2-2} + \sqrt{x^2-2x}} =

Ahora se obtiene una indeterminación del tipo \frac{\infty}{\infty} que se resuelve dividiendo por x (que será x^2 dentro de la raíz)

=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ \frac{2x}{x}-\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}}} =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2-\frac{2}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{2}{x}}}=

Finalmente sustituimos x por \infty y obtenemos

=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2-0}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1-0}}= \frac{2}{2} = 1