Navega sin publicidad Regístrate GRATIS

Si ya estás registrado/a Identifícate

Representar Funciones a Trozos

Ejercicios_Resueltos funciones funciones a trozos gráfica

Representa gráficamente la función:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -x & si & x < 0\\ 2x^2 & si & 0 \leq x < 1\\ 2 & si & x > 1 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Representamos la función a trozos:

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}-x & \text{si} & x < 0\\2x^2 & \text{si} & 0 \leq x < 1\\2 & \text{si} & x > 1\\\end{array}\right.$

Se trata de una función con 3 trozos. El primer trozo es una función lineal con dominio $(-\infty,\,0)$ . El segundo trozo es una parábola (cuadrática) con dominio $[0,\,1)$ . El tercer trozo es una función constante con dominio $(1,\,+\infty)$ .

Dominio de cada trozo:

Primer trozo (Azul): $f(x)=-x$ para $x < 0$

Paso 1 · Cortes con los ejes

Corte con el eje $y$ (hacemos $x=0$ ):

$x=0$ no pertenece al dominio de este trozo: no hay corte con el eje $y$ .

Corte con el eje $x$ (hacemos $f(x)=0$ ):

No hay cortes con el eje $x$ en el dominio de este trozo.

Paso 2 · Extremos del dominio

Extremo izquierdo $-\infty$ : la recta se extiende indefinidamente.

En $x=0$ : $f(0)=0$ — punto hueco (excluido).

Punto adicional (necesitamos al menos 2 puntos para trazar la recta):

$x=-1$ : $f(-1)=1$ → punto ${\color{#1565C0}(-1,\;1)}$

Segundo trozo (Rojo): $f(x)=2x^2$ para $0 \leq x < 1$

Paso 1 · Vértice

La abscisa del vértice: $x_V=\dfrac{-b}{2a}$

Sustituimos $a=2,\ b=0$ :

$x_V=\dfrac{0}{2\cdot2}=0$

La ordenada del vértice, sustituyendo $x_V=0$ en $f(x)$ :

$y_V=f(0)=0$

${\color{blue}V\!\left(0,\;0\right)}$

Paso 2 · Orientación de la parábola

Como $a=2>0$ , la parábola abre hacia arriba $(\cup)$ .

El vértice es el punto más bajo de la curva.

Paso 3 · Cortes con los ejes

Corte con el eje $y$ (hacemos $x=0$ ):

$y=2\cdot 0^2+0\cdot 0+0=0$

El corte con el eje $y$ coincide con el vértice ${\color{blue}(0,\;0)}$ .

Corte con el eje $x$ — igualamos $f(x)=0$ :

Igualamos $y=0$ :

$2x^2+(0)x+(0)=0$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Con $a=2,\quad b=0,\quad c=0$ :

$x=\dfrac{0\pm\sqrt{0^2-4\cdot2\cdot0}}{2\cdot2}=\dfrac{0\pm\sqrt{0}}{4}$

El discriminante $\Delta=0$ : la parábola es tangente al eje $x$ en el vértice.

$\boxed{x=0}$

→ ${\color{orange}(0,\;0)}$ en el dominio, se dibuja.

Paso 4 · Extremos del dominio

En $x=0$ : $f(0)=0$ — punto relleno (incluido).

En $x=1$ : $f(1)=2$ — punto hueco (excluido).

Paso 5 · Otros puntos

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 2 \\ \end{array}$

Tercer trozo (Verde): $f(x)=2$ para $x > 1$

Paso 1 · Cortes con los ejes

Corte con el eje $y$ (hacemos $x=0$ ):

$x=0$ no pertenece al dominio de este trozo: no hay corte con el eje $y$ .

Corte con el eje $x$ (hacemos $f(x)=0$ ):

No hay cortes con el eje $x$ en el dominio de este trozo.

Paso 2 · Extremos del dominio

En $x=1$ : $f(1)=2$ — punto hueco (excluido).

Extremo derecho $+\infty$ : la recta se extiende indefinidamente.

Punto adicional (necesitamos al menos 2 puntos para trazar la recta):

$x=2$ : $f(2)=2$ → punto ${\color{#2e7d32}(2,\;2)}$

Gráfica completa de la función a trozos

Comentar el ejercicio