Navega sin publicidad Regístrate GRATIS

Si ya estás registrado/a Identifícate

Representar Funciones a Trozos

Ejercicios_Resueltos funciones funciones a trozos gráfica

Representa gráficamente la función:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -x^2 & si & x \leq 0\\ x+1 & si & x > 0 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Representamos la función a trozos:

$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}-x^2 & \text{si} & x \leq 0\\x+1 & \text{si} & x > 0\\\end{array}\right.$

Se trata de una función con 2 trozos. El primer trozo es una parábola (cuadrática) con dominio $(-\infty,\,0]$ . El segundo trozo es una función lineal con dominio $(0,\,+\infty)$ .

Dominio de cada trozo:

Primer trozo (Azul): $f(x)=-x^2$ para $x \leq 0$

Paso 1 · Vértice

La abscisa del vértice: $x_V=\dfrac{-b}{2a}$

Sustituimos $a=-1,\ b=0$ :

$x_V=\dfrac{-(0)}{2\cdot(-1)}=0$

La ordenada: $y_V=f(0)=0$

${\color{blue}V\!\left(0,\;0\right)}$

Paso 2 · Orientación

Como $a=-1<0$ , la parábola abre hacia abajo $(\cap)$ .

El vértice es el punto más alto de la curva.

Paso 3 · Cortes con los ejes

Corte con el eje $y$ (hacemos $x=0$ ):

$f(0)=0\ \Rightarrow\ {\color{teal}(0,\;0)}$

Cortes con el eje $x$ — igualamos $f(x)=0$ :

$-x^2=0$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Con $a=-1,\quad b=0,\quad c=0$ :

$x=\dfrac{0\pm\sqrt{0^2-4\cdot(-1)\cdot0}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{0\pm\sqrt{0}}{-2}$

El discriminante $\Delta=0$ : la parábola es tangente al eje $x$ en el vértice.

$\boxed{x=0}$

→ ${\color{red}(0,\;0)}$ en el dominio, se dibuja.

Paso 4 · Extremos del dominio

Extremo izquierdo $-\infty$ : la función se extiende indefinidamente.

Extremo derecho $x=0$ : $f(0)=0$ — punto relleno (incluido).

Paso 5 · Otros puntos

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -1 & -1 \\ -2 & -4 \\ -3 & -9 \\ -4 & -16 \\ \end{array}$

Segundo trozo (Rojo): $f(x)=x+1$ para $x > 0$

Paso 1 · Cortes con los ejes

Corte con el eje $y$ (hacemos $x=0$ ):

$x=0$ no pertenece al dominio de este trozo: no hay corte con el eje $y$ .

Corte con el eje $x$ (hacemos $f(x)=0$ ):

No hay cortes con el eje $x$ en el dominio de este trozo.

Paso 2 · Extremos del dominio

Extremo izquierdo $x=0$ : $f(0)=1$ — punto hueco (excluido).

Extremo derecho $+\infty$ : la recta se extiende indefinidamente.

Punto adicional (necesitamos al menos 2 puntos para trazar la recta):

$x=1$ : $f(1)=2$ → punto ${\color{#c62828}(1,\;2)}$

Gráfica completa de la función a trozos

Comentar el ejercicio