PAU · Andalucía · 2023 · mat_soc_2023_1 · Análisis · EJERCICIO 3
Se considera la función 
.
a) Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de 
y su curvatura.
b) Represente gráficamente la función .
c) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de y el eje de abscisas.
SOLUCIÓN
Apartados a), b)
Paso 1 · Dominio
Es una función polinómica, por tanto su dominio es 
(todos los números reales).
Paso 2 · Puntos de corte con los ejes
Corte con el eje 
: hacemos 
. 
, luego el punto es 
.
Corte con el eje 
: hacemos 
, es decir, resolvemos 
.
Resolvemos la ecuación 
.
Sacamos factor común 
, de modo que la ecuación queda 
.
Un producto vale cero cuando lo vale alguno de sus factores: de obtenemos la solución ; las demás salen de resolver 
.
Resolvemos el factor de grado 2:
Ecuación de segundo grado :
Con 
:
Cortes con el eje : 
.
Paso 3 · Simetrías
Comparamos 
con 
: si 
es PAR (simétrica respecto al eje ); si 
es IMPAR (simétrica respecto al origen).
Hay términos de grado par e impar, por lo que no es par ni impar.
Paso 4 · Continuidad
Es una función polinómica, que es continua en todo .
Paso 5 · Asíntotas
No hay asíntotas verticales.
No hay asíntotas horizontales ni oblicuas.
Paso 6 · Derivadas
Derivamos término a término con la regla de la potencia 
:
Paso 7 · Monotonía (crecimiento y decrecimiento)
Una función crece donde su derivada cumple 
y decrece donde 
. Buscamos primero los puntos donde 
(la derivada calculada en el paso anterior), que son los posibles cambios de crecimiento:
Ecuación de segundo grado 
:
Con 
:
Puntos donde :
Con estos puntos (y teniendo en cuenta el dominio) dividimos la recta en intervalos.
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos 
para ver su signo:
En 
tomamos : 
→ 
.
En 
tomamos 
: 
→ 
.
En 
tomamos 
: 
→ .
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
Paso 8 · Extremos relativos (criterio de la 2ª derivada)
En cada punto crítico 
evaluamos la segunda derivada: si 
hay un mínimo; si 
, un máximo.
En 
calculamos 
. Al ser negativa, hay un MÁXIMO relativo.
La segunda coordenada se obtiene sustituyendo en la función original (no en las derivadas): 
, por lo que el máximo está en el punto 
.
En 
calculamos 
. Al ser positiva, hay un MÍNIMO relativo.
La segunda coordenada se obtiene sustituyendo en la función original (no en las derivadas): 
, por lo que el mínimo está en el punto 
.
Resumen:
Máximo relativo: .
Mínimo relativo: .
Paso 9 · Concavidad y convexidad
Estudiamos el signo de 
: donde 
la función es convexa 
y donde 
es cóncava 
.
Buscamos los posibles cambios de concavidad resolviendo 
(la segunda derivada calculada en el paso anterior):
Ecuación de primer grado 
:
Puntos donde (posible cambio de concavidad):
Con estos puntos (y teniendo en cuenta el dominio) dividimos la recta en intervalos.
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos para ver su signo:
En 
tomamos : 
→ 
.
En 
tomamos : 
→ 
.
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
Paso 10 · Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es donde 
cambia de signo (cambia la concavidad).
En la concavidad cambia, así que hay un punto de inflexión. Su segunda coordenada se obtiene sustituyendo en la función original (no en las derivadas): 
, por lo que el punto de inflexión es 
.
Apartado c)
)
Una primitiva de 
es 
.
