PAU · Andalucía · 2022 · mat_soc_2022_6 · Análisis · EJERCICIO 4
Se considera la función 
a) (1 punto) Determine el dominio de la función y estudie su monotonía y curvatura.
b) (1 punto) Calcule las ecuaciones de las asintotas de 
si existen. Calcule los puntos de corte de la gráfica de con los ejes de coordenadas.
c) (0.5 puntos) Represente la gráfica de la función .
SOLUCIÓN
Apartado a)
Estudio de la función (racional):
Es una función racional. Su dominio es 
menos los valores que anulan el denominador (no se puede dividir por cero).
Resolvemos 
:
Ecuación de primer grado :
Aplicamos la regla del cociente:
, con 
y 
.
Sustituimos en la fórmula:
Operamos en el numerador y simplificamos:
Derivamos la primera derivada (ya simplificada) para obtener 
:
Aplicamos la regla del cociente:
, con 
y 
.
Sustituimos y cancelamos el factor común 
entre numerador y denominador:
Operamos en el numerador y simplificamos:
Una función crece donde su derivada cumple 
y decrece donde 
. Buscamos primero los puntos donde 
(la derivada calculada en el paso anterior), que son los posibles cambios de crecimiento:
El polinomio 
es constante y no nulo: nunca se anula. No hay puntos críticos.No hay puntos donde en el dominio.
Para dividir la recta en intervalos no usamos solo los puntos donde : también hay que tener en cuenta los puntos que NO pertenecen al dominio (
), donde la función no está definida.
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos 
para ver su signo:
En 
tomamos 
: 
→ 
.
En 
tomamos 
: 
→ .
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
Estudiamos el signo de : donde 
la función es convexa 
y donde 
es cóncava 
.
Buscamos los posibles cambios de concavidad resolviendo 
(la segunda derivada calculada en el paso anterior):
Como el denominador no se anula en el dominio, equivale a anular el numerador:
El polinomio 
es constante y no nulo: nunca se anula. No hay puntos críticos.No hay puntos donde en el dominio.
Para dividir la recta en intervalos, además de los puntos donde hay que tener en cuenta los puntos que NO pertenecen al dominio (), donde la función no está definida.
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos para ver su signo:
En tomamos : 
→ 
.
En tomamos : 
→ 
.
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
Apartado b)
Corte con el eje 
: hacemos . 
, luego el punto es 
.
Corte con el eje 
: hacemos 
, es decir, resolvemos 
.
Una fracción es cero cuando lo es su numerador, así que resolvemos numerador
:
Ecuación de primer grado 
:
Cortes con el eje : 
.
Asíntotas verticales: en los puntos que no pertenecen al dominio comprobamos los límites laterales.
Hay asíntota vertical en .
Asíntota horizontal: grados iguales (1), 
. Hay asíntota horizontal 
.
Apartado c)
Sustituimos algunos valores enteros en :
Trazamos las dos ramas de la hipérbola aproximándose a las asíntotas sin cruzarlas:
