Factorizar polinomios de 4º y 5º grado

Factoriza los siguientes polinomios:

– $x^5+3x^4+x^3-3x^2-2x$
– $x^4-x^3+x^2-x$

SOLUCIÓN

En primer lugar sacamos factor común

$x^5+3x^4+x^3-3x^2-2x = x \cdot (x^4+3x^3+x^2-3x-2)$

Ahora continuamos con Ruffini

$\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4+3x^3+x^2-3x-2}$

$\polyhornerscheme[x=-1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+4x^2+5x+2}$

$\polyhornerscheme[x=-1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^2+3x+2}$

$\polyhornerscheme[x=-2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x+2}$

Por tanto la factorización completa es:

$x^5+3x^4+x^3-3x^2-2x = x \cdot (x-1) \cdot (x+1)^2 \cdot (x+2)$

Para el segundo polinomio sacamos factor común
$x^4-x^3+x^2-x = x \cdot (x^3-x^2+x-1)$

Ahora aplicamos Ruffini

$\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-x^2+x-1}$

Quedando finalmente:

$x^4-x^3+x^2-x = x \cdot (x-1) \cdot (x^2+1)$

Observe que $x^2+1$ no se puede factorizar porque $x^2+1=0$ no tiene raíces reales:
$x^2+1=0 \longrightarrow x^2=-1 \longrightarrow x=\sqrt{-1}$