Ejercicios Integrales

Resuelve la integral:

– $\int \frac{x-1}{3x^2-5x+6} \: dx$

SOLUCIÓN

Integral racional:

$\displaystyle\int \frac{x-1}{3x^2-5x+6}\,dx$

El denominador no tiene raíces reales (su discriminante es negativo), así que no se puede descomponer en fracciones simples:

$b^2 - 4ac = \left(-5\right)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = -47$

Se resuelve con la derivada del denominador y un arco tangente. Identificamos $Q$ y $Q^{\prime}$ :

$Q(x) = 3x^2 - 5x + 6 \;\longrightarrow\; Q^{\prime}(x) = 6x - 5$

Partimos el numerador en $Q^{\prime}$ más una constante:

$x - 1 = \dfrac{1}{6}\left(6x - 5\right) - \dfrac{1}{6}$

La parte con $Q^{\prime}$ es logarítmica ( $\int \dfrac{u^{\prime}}{u}\,dx = \text{Ln}\left|u\right|+C$ ):

$\displaystyle\int \dfrac{6x - 5}{3x^2 - 5x + 6}\,dx = \text{Ln}\left|3x^2 - 5x + 6\right|$

Completamos cuadrados en el denominador para que quede un arco tangente ( $\int \dfrac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\,dx = \text{arc tg}\,u + C$ ):

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{3x^2 - 5x + 6} = 2\dfrac{1}{\sqrt{47}}\,\text{arc tg}\,\dfrac{6x - 5}{\sqrt{47}}$

Por tanto:

$\displaystyle\int \frac{x-1}{3x^2-5x+6}\,dx = \dfrac{1}{6}\text{Ln}\left|3x^2 - 5x + 6\right| - \dfrac{1}{3\sqrt{47}}\text{arc tg}\,\dfrac{6x - 5}{\sqrt{47}} + C$

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