Ecuaciones grado superior

ecuaciones ecuaciones_grado_superior ecuaciones_por_Ruffini Ejercicios_Resueltos

Resuelve la ecuación $x^6-63x^3-64=0$

SOLUCIÓN

Ecuación de grado 6:

$x^{6}-63x^{3}-64 = 0$

No hay factor común.

Paso 1 — Regla de Ruffini:

Candidatos a raíces enteras (divisores del término independiente -64):

$\pm1,\;\pm2,\;\pm4,\;\pm8,\;\pm16,\;\pm32,\;\pm64$

$\color{red}{x=-64},\;\color{red}{x=-32},\;\color{red}{x=-16},\;\color{red}{x=-8},\;\color{red}{x=-4},\;\color{red}{x=-2}\quad\color{blue}{x=-1}\text{ sí es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^6-63x^3-64}$

$\color{red}{x=-1},\;\color{red}{x=1},\;\color{red}{x=2}\quad\color{blue}{x=4}\text{ sí es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=4,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^5-x^4+x^3-64x^2+64x-64}$

$\color{red}{x=4},\;\color{red}{x=8},\;\color{red}{x=16}\text{: ninguno es raíz}$

No hay raíces enteras; el factor

$x^{4}+3x^{3}+13x^{2}-12x+16$

es irreducible.

Forma factorizada:

$x^{6}-63x^{3}-64=\left(x+1\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x^{4}+3x^{3}+13x^{2}-12x+16\right)$

Regla del producto nulo:

$\left(x+1\right)=0 \implies x=-1$

$\left(x-4\right)=0 \implies x=4$

Solución:

$\boxed{x_{1}=-1\qquad x_{2}=4}$

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