sistemas lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\left. \begin{array}{lcc} x - 3y + 2z = -1\\ 4x +5y -2z = 6\\ -x + 2y + z = -2 \end{array} \right\}$

SOLUCIÓN

Regla de Cramer

Sistema de partida:

$\begin{cases}x - 3y + 2z = -1\\4x + 5y - 2z = 6\\-x + 2y + z = -2\end{cases}$

Paso 1 · Determinante principal det(A)

$\det(A) = \begin{vmatrix}1&-3&2\\4&5&-2\\-1&2&1\end{vmatrix}$

Desarrollo por la primera fila:

$= 1\cdot\begin{vmatrix}5&-2\\2&1\end{vmatrix} - (-3)\cdot\begin{vmatrix}4&-2\\-1&1\end{vmatrix} + 2\cdot\begin{vmatrix}4&5\\-1&2\end{vmatrix}$

$= 1\cdot9 - (-3)\cdot2 + 2\cdot13 = 41$

Como $\det(A) = 41 \neq 0$ , el sistema tiene solución única.

Paso 2 · Determinante $D_x$ (columna de $x$ reemplazada por los términos independientes)

$D_x = \begin{vmatrix}-1&-3&2\\6&5&-2\\-2&2&1\end{vmatrix}$

$= (-1)\cdot\begin{vmatrix}5&-2\\2&1\end{vmatrix} - (-3)\cdot\begin{vmatrix}6&-2\\-2&1\end{vmatrix} + 2\cdot\begin{vmatrix}6&5\\-2&2\end{vmatrix}$

$= (-1)\cdot9 - (-3)\cdot2 + 2\cdot22 = 41$

Paso 3 · Determinante $D_y$ (columna de $y$ reemplazada por los términos independientes)

$D_y = \begin{vmatrix}1&-1&2\\4&6&-2\\-1&-2&1\end{vmatrix}$

$= 1\cdot\begin{vmatrix}6&-2\\-2&1\end{vmatrix} - (-1)\cdot\begin{vmatrix}4&-2\\-1&1\end{vmatrix} + 2\cdot\begin{vmatrix}4&6\\-1&-2\end{vmatrix}$

$= 1\cdot2 - (-1)\cdot2 + 2\cdot(-2) = 0$

Paso 4 · Determinante $D_z$ (columna de $z$ reemplazada por los términos independientes)

$D_z = \begin{vmatrix}1&-3&-1\\4&5&6\\-1&2&-2\end{vmatrix}$

$= 1\cdot\begin{vmatrix}5&6\\2&-2\end{vmatrix} - (-3)\cdot\begin{vmatrix}4&6\\-1&-2\end{vmatrix} + (-1)\cdot\begin{vmatrix}4&5\\-1&2\end{vmatrix}$

$= 1\cdot(-22) - (-3)\cdot(-2) + (-1)\cdot13 = -41$

Aplicando la regla de Cramer:

$x = \dfrac{D_x}{\det(A)} = \dfrac{41}{41} = 1$

$y = \dfrac{D_y}{\det(A)} = \dfrac{0}{41} = 0$

$z = \dfrac{D_z}{\det(A)} = \dfrac{-41}{41} = -1$

Solución del sistema:

$\boxed{x = 1 \qquad y = 0 \qquad z = -1}$