Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Dados los vectores $\vec{u} = (-3,5,1)$ y $\vec{v} = (7,4,-2)$ , realiza las siguientes operaciones:

– $2 \vec{u}$
– $0 \vec{v}$
– $-\vec{u}$
– $2 \vec{u} + \vec{v}$
– $\vec{u} - \vec{v}$
– $5 \vec{u}- 3 \vec{v}$

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Dados los vectores $\vec{x}(1,-5,2)$ , $\vec{y}(3,4,-1)$ . $\vec{z}(6,3,-5)$ , $\vec{w}(24,-26,-6)$ , calcula $a, b, c$ de forma que se cumpla: $a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}=\vec{w}$

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Dados los vectores $\vec{u}(3,-1,5)$ , $\vec{v}(4,7,11)$ y $\vec{w}(-2,k,3)$ ,

– Calcula $\vec{u} \cdot \vec{v}$
– Halla el valor de $k$ para que $\vec{u} \perp \vec{w}$

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Demuestra que las siguientes rectas son ortogonales:
$r \equiv \frac{x-1}{2}=y+3 = z-1$
$s \equiv x-2=\frac{y-1}{-3} = z-1$

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Halla el ángulo que forman los vectores $\vec{u}(1,5,0)$ y $\vec{v}(-3,0,2)$

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Calcula el área del triángulo de vértices $A(0,3,0)$ , $B(2,0,0)$
y $C(0,0,-5)$

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Demuestra que los vectores $\vec{i}(1,0,0)$ , $\vec{j}(0,1,0)$ , $\vec{k}(0,0,1)$ forman una base ortonormal

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Halla las coordenadas del vector $\vec{h}(2,4,-2)$ respecto de la base formada por los vectores $\vec{u}(-1,1,1)$ , $\vec{v}(1,-1,1)$ y $\vec{w}(1,1,-1)$

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Los puntos $A(3,0,0)$ , $B(0,3,0)$ y $C(0,0,3)$ son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a los puntos A, B y C.

– a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
– b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$
– c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.

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Hallar la distancia del punto $P(1,2,5)$ al plano $\pi \equiv 2x+2y-z-5=0$

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Halla la distancia del punto $P(3,4,5)$ a la recta $r \equiv x+1=\frac{y+2}{2}=\frac{z+5}{-1}$

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Halla la distancia entre los puntos $P(1,2,1)$ y $Q(5,2,7)$

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Halla la distancia entre las rectas paralelas:
$r \equiv \frac{x}{1}=\frac{y+3}{2} = \frac{z}{4}$
$s \equiv x=\frac{y-1}{2} = \frac{z}{4}$

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Halla la distancia entre las rectas:
$r \equiv \frac{x+3}{3}=\frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}$
$s \equiv \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$

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Sean los puntos $A(1,1,0)$ y $B(-2,1,6)$ . Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento $\overline{AB}$ en 3 partes iguales.

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Escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícita de la recta que pasa por los puntos $A(1,2,4)$ y $B(0,-2, -5)$

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Estudia la posición relativa de las rectas:
$r: \: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$ y
$s: \: \frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$

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Estudia la posición relativa (y punto de corte en caso de ser secantes) de las rectas:
$r: \: \frac{x}{2}=y-1=\frac{z+1}{3} \: ; \quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x-2y-1=0 \\ 3y-z+1=0 \\ \end{array} \right.$

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Halla los valores de $m$ y $n$ para que los siguientes puntos estén alineados:
$P(7,-1,m)$ , $Q(8,6,3)$ , $R(10,n,9)$

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Halla la posición relativa (y punto de corte si existe) de las rectas:
$r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1-5 \lambda \\ y=2+3 \lambda \\ z=-5+ \lambda \\ \end{array} \right. \quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=1 \\ z= \lambda \\ \end{array} \right.$

📝 Ejercicios de geometría3D