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funciones gráfica

Ejercicios_Resueltos funciones gráfica_de_parábola

Representa gráficamente la función:

$f(x) = x^2 - 2x - 3$

SOLUCIÓN

Representamos la parábola $y=x^2-2x-3$

Paso 1 · Cálculo del vértice

La abscisa del vértice:

$x_V=\dfrac{-b}{2a}$

Sustituimos $a=1,\ b=-2,\ c=-3$ :

$x_V=\dfrac{-(-2)}{2\cdot(1)}=1$

La ordenada del vértice, sustituyendo $x_V=1$ en $f(x)$ :

$y_V=f(1)=(1)\cdot\left(1\right)^2+(-2)\cdot(1)+(-3)=-4$

${\color{blue}V\!\left(1,\;-4\right)}$

Paso 2 · Orientación de la parábola

Como $a=1>0$ , la parábola abre hacia arriba $(\cup)$ .

El vértice $V$ es el punto más bajo de la curva.

Paso 3 · Cortes con los ejes

Corte con el eje $y$ — hacemos $x=0$ :

$y=1\cdot0^2+(-2)\cdot0+(-3)=-3$

Corte con el eje $y$ : ${\color{teal}(0,\;-3)}$

Corte con el eje $x$ — hacemos $y=0$ :

Igualamos $y=0$ :

$x^2-2x-3=0$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Con $a=1,\quad b=-2,\quad c=-3$ :

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(1)\cdot(-3)}}{2\cdot(1)}=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}$

$\begin{array}{ccc} & & x_1=\dfrac{2+4}{2}=3\\ & \nearrow & \\x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2} & & \\ & \searrow & \\ & & x_2=\dfrac{2-4}{2}=-1\end{array}$

$\boxed{x_1=3}\qquad\boxed{x_2=-1}$

Puntos de corte con el eje $x$ : ${\color{orange}(3,\;0)}$ y ${\color{orange}(-1,\;0)}$

Paso 4 · Otros puntos

Calculamos puntos adicionales. Por ejemplo, para $x=2$ :

$y=1\cdot(2)^2+(-2)\cdot(2)+(-3)=-3$

$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 2 & -3 \\ -2 & 5 \\ 4 & 5 \\ -3 & 12 \\ \end{array}$

Los puntos $(-2,5)$ y $(4,5)$ son simétricos respecto al eje $x=1$ .

Paso 5 · Gráfica completa de $y=x^2-2x-3$

Unimos todos los puntos con la curva:

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