Selectividad Andalucía 2008-6-A3

andalucía discutir_sistema Ejercicios_Resueltos MatemáticasII_Andalucía_2008 selectividad sistema_con_parámetros

– (a) Determina razonadamente los valores del parámetro $m$ para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

$\left. \begin{array}{ccc} 2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array} \right\}$

– (b) Resuelve el sistema anterior para el caso $m = 0$ y para el caso $m = 1$ .

SOLUCIÓN

– a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes: $|A| = -m^3+8m^2-16m+9$
Igualamos a cero y resolvemos la ecuación:
$-m^3+8m^2-16m+9=0$ $\longrightarrow$ $m=1$ ; $m=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$

Cuando $m\neq 1$ y $m \neq \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$ el det(A) será distinto de cero y entonces rg(A)=3 = rg(A*)=nº inc. (S.C.D.)

Para $m=1$ y para $m=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$ el sistema tiene infinitas soluciones pues rg(A)=2=rg(A*)<nºinc. (S.C.I.)

– b) Para $m=0$ es S.C.Det. con la única solución $x=0; y=0; z=0$
Para $m=1$ es S.C. Indet. (infinitas soluciones). Las soluciones son:
$\left. \begin{array}{ccc} x = t \\ y = -2t \\ z = t \end{array} \right\}$

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Mensajes

22 de septiembre de 2018, 13:36, por Angel

en el apartado a, creo que hay un error; concretamente al decir cuando m es distinto de 1 y de -7raiz de etc. dices que el rango de A es 3 y creo que es correcto pero el rango de A* deberia ser 2, debido a que en la matriz ampliada solo queda una fila de 0. Aclarar mi duda por favor, gracias. Gran trabajo.
- 24 de septiembre de 2018, 11:01, por dani
  
  La matriz ampliada (A*) contiene a la matriz A, por tanto el rango de la ampliada NUNCA puede ser menor que el rango de A (siempre será igual o mayor).
  
  Un saludo.