Rango de matriz en función de parámetro

Calcula el rango de la siguiente matriz en función de los valores del parámetro $m$

$A =\left( \begin{array}{ccc} m & -3 & 0\\ 0 & -1 & 1 \\2&-m&5 \end{array} \right)$

SOLUCIÓN

Podemos empezar calculando el determinante

$A =\left| \begin{array}{ccc} m & -3 & 0\\ 0 & -1 & 1 \\2&-m&5 \end{array} \right| = m^2-5m-6$

$|A|=0 \Leftrightarrow m^2-5m-6=0$

$\begin{array}{ccc} & & m_1 = \frac{5+7}{2}=6\\ & \nearrow &\\ m=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot1\cdot(-6)}}{2 \cdot1}=\frac{5\pm \sqrt{49}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &m_2 = \frac{5-7}{2}=-1\end{array}$

$|A|=0 \Leftrightarrow m=6$ ; $m=-1$

Si $m \neq 6$ y $m \neq -1 \longrightarrow |A| \neq 0 \longrightarrow r(A)=3$

Si $m=6 \longrightarrow \left| \begin{array}{cc} -3 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right|=-3 \neq 0 \longrightarrow r(A)=2$

Si $m=-1 \longrightarrow \left| \begin{array}{cc} -3 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right|=-3 \neq 0 \longrightarrow r(A)=2$

Comentar el ejercicio