Dominio, continuidad y corte con los ejes

continuidad corte_ejes dominio Ejercicios_Resueltos funciones

Hallar dominio, continuidad y corte con los ejes de la función $f(x)=\frac{x}{Ln(x)}$

SOLUCIÓN

$f(x)=\frac{x}{Ln(x)}$

Dominio

Como aparece $Ln(x)$ y sabemos que el logaritmo no puede ser cero ni negativo, tenemos que x tiene que ser positivo.
En principio el dominio sería $(0, +\infty)$

Pero también tenemos que evitar que el denominador sea cero.

Si $Ln(x) = 0 \longrightarrow x=1$ , por tanto tenemos que excluir del dominio el punto x=1

En definitiva el dominio es:
$Dom(f) = (0,1) \cup (1, +\infty)$

También se puede expresar de la siguiente forma:
$Dom(f) = (0, +\infty) - \{1\}$

Continuidad

La función es continua en todo su dominio, es decir,
es continua en $Dom(f) = (0,1) \cup (1, +\infty)$

Corte con los ejes

Si $x=0 \longrightarrow$ NO hay corte porque x no puede tomar el valor 0 (no pertenece al dominio)

Si $y=0 \longrightarrow 0= \frac{x}{Ln(x)} \longrightarrow 0=x$
Tampoco nos vale por el mismo motivo de antes.

Por tanto, no hay puntos de corte con los ejes.

Dibujamos la función con algún software tipo geogebra para comprobar los resultados obtenidos

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Mensajes

14 de mayo de 2022, 17:05, por Antonio Luis Díaz Díaz

¿Me puedes decir por qué es continua en todo su dominio si presenta un salto en x=1, porfavor?
- 14 de mayo de 2022, 19:04, por dani
  
  El "1" no pertenece a su dominio.
  
  El dominio es $(0,1) \cup (1,+\infty)$ (desde cero hasta infinito quitando el "1").
  
  Una vez que tengamos claro cuál es su dominio, podremos asegurar que es continua en todo su dominio