Calcular extremos relativos de una función

Calcule máximos y mínimos de la función $f(x)=2x^3-15x^2+36x+48$

SOLUCIÓN

Según la teoría necesitamos las derivadas primera y segunda:
$f\textsc{\char13} (x)=6x^2-30x+36$
$f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (x)=12x-30$

Resolvemos la ecuación $f\textsc{\char13} (x)=0$
$6x^2-30x+36=0$ Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones $x=2$ y $x=3$ .

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{30+6}{12}=3\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4 \cdot6\cdot36}}{2 \cdot6}= \frac{30\pm \sqrt{36}}{12}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{30-6}{12}=2\end{array}$

Analizamos el signo de la 2ª derivada en esas soluciones, para comprobar si son máximos (<0) , mínimos (>0) o no podemos afirmar nada (=0).

– $f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (2) = 12 \cdot 2 - 30= -6 (<0) \longrightarrow$ MAX en $x=2$
– $f\textsc{\char13} \textsc{\char13} (3) = 12 \cdot 3 - 30= 6 (>0) \longrightarrow$ MIN en $x=3$

Para hallar la segunda coordenada de los extremos debemos usar la función original $f(x)$

– $f(2) = 2 \cdot 2^3-15\cdot 2^2+36 \cdot 2+48 = 76$
Por tanto MÁXIMO $(2,76)$
– $f(3) = 2 \cdot 3^3-15\cdot 3^2+36 \cdot 3+48 = 75$
Por tanto MÍNIMO $(3,75)$

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Mensajes

8 de enero de 2017, 02:13, por Simeón Mbomio Bindang

Muy interesante y bien explicado.
Muchas gracias.
21 de junio de 2017, 22:19, por yoel

buen trabajo